ژوزف لوئی لاگرانژ در 25 ژانویه سال 1736 در تورینو ایتالیا متولد شد. او که از بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ می باشد هنگام تولد بیش از حد ضعیف و ناتوان بود و از یازده فرزند خانواده فقط او زنده مانده بود. زندگی لاگرانژ را می توان به سه دوره تقسیم کرد: نخستین دوره شامل سالهایی می شود که در موطنش تورینو سپری شد (1736-1766). دوره دوم دوره ای بود که وی بین سالهای 1766 و 1787 در فرهنگستان برلین کار می کرد. دوره سوم از 1787 تا 1813 که عمر وی به پایان رسید در پاریس درگذشت.
دوره اول و دوم از نظر فعالیتهای علمی پرثمرترین دوره ها بودند که با کشف حساب تغییرات در 1754 آغاز گردید و با کاربرد آن در مکانیک در 1756 ادامه یافت. در این نخستین دوره وی درباره مکانیک آسمانی نیز کار کرد. دوره اقامت در برلین هم از نظر مکانیک و هم از لحاظ حساب دیفرانسیل و انتگرال سازنده بود با این حال در آن دوره لاگرانژ در درجه اول در زمینه حل عددی و جبری معادلات و حتی فراتر از آن در نظریه اعداد، چهره ای برجسته و ممتاز شده بود.

استنباطهای ریاضی وی را خلاصه می کردند. این رساله ها در هنگامی که عصر ریاضیات قرن هجدهم در شرف پایان بود مقدمات عصر ریاضیات قرن نوزدهم را فراهم کردند و از برخی جهات آن دوره را گشودند. پدر لاگرانژ وی را نامزد آموختن حقوق نمود اما لاگرانژ به محض آنکه تحصیل فیزیک را زیر نظر بکاریا و تحصیل هندسه را زیر نظر فیلیپو نتونیو رِوّلی آغاز کرد به سرعت متوجه تواناییهای خود شد و بنابراین خویشتن را وقف علوم دقیق کرد. در 1757 چند دانشمند جوان تورنتویی که لاگرانژ و کنت سالوتسو و جووانی چینییای فیزیکدان در میان آنها بودند انجمنی علمی بنیاد نهادند که منشاء فرهنگستان سلطنتی علوم تورینو گردید یکی از اهداف اصلی آن انجمن انتشار جنگی بود به زبان فرانسوی و لاتینی به نام (جُنگ تورینو) که لاگرانژ خدمتی بنیادی به آن کرد. سه جلد اول آن تقریباً حاوی تمامی آثاری بود که وی هنگام اقامت در تورینو به چاپ رسانده بود. فعالیت لاگرانژ در مکانیک آسمانی غالباً بر محور مسابقه هایی دور می زد که از طرف انجمنهای مختلف علمی پیشنهاد شده بودند اما به این گونه مسابقه ها منحصر نبود. در تورینو غالباً کارش جهت گیری مستقل داشت و در 1782 به دالامبر و لاپلاس نوشت که درباره تغییرات قرنی نقطه های نهایی اوج و خروج از مرکز تمام سیارات کار می کند. این پژوهش لاگرانژ به انتشار کتابی انجامید با عنوان «نظریه تغییرات قرنی عناصر سیارات» و مقاله ای با عنوان «درباره تغییرات قرنی حرکات متوسط سیارات» که در سال 1785 منتشر شد. لاگرانژ در برلین و در سال 1768 مقاله «حل مسئله ای از حساب» را برای جُنگ تورینو فرستاد تا در جلد چهارم درج شود. درآن نوشته لاگرانژ به نوشته قبلی خود اشاره داشت و از طریق کاربرد ظریف و استادانه الگوریتم کسرهای پیوسته ثابت کرد که معادله فِرما (ریاضیدان معروف) را در صورتی می توان در تمام حالات حل کرد که x و y و a اعداد درست مثبت باشند، a مربع کامل نباشد و y غیر از صفر باشد، این است نخستین راه حل شناخته شده این مسئله مشهور. آخرین بخش این نوشته در مقاله ای با عنوان «روش جدید برای حل مسائل نامحدود در اعداد درست» بسط یافت که در نشریه یادداشتهای برلین برای سال 1768 عرضه شد ولی تا فوریه آن سال کامل نگردید و در سال 1770 منتشر شد.
از بزرگترین شاهکارهای علمی لاگرانژ رساله مکانیک تحلیلی را می توان نام برد که در سال 1788 انتشار یافت. او در آن پیشنهاد کرد که بهتر است نظریه مکانیک و فنون حل کردن مسائل آن رشته به فرمولهایی کلی تحویل شوند، فرمولهایی که هرگاه پیدا شوند همه معادله های لازم برای حل هر مسئله را بوجود خواهند آورد. باری، لاگرانژ تصمیم گرفت که چاپ دومی از آن اثر منتشر کند که حاوی برخی پیشرفتها باشد او قبلاً در یادداشتهای انستیتو چند مقاله منتشر کرده بود که آخرین و درخشانترین خدمت وی را در راه پیشبرد مکانیک آسمانی نشان می دادند. او قسمتی از آن نظریه را در جلد اول رساله تجدید نظر شده گنجانید. لاگرانژ مردی محجوب و متواضع بود. او بسیار ساده و راحت هنگامیکه از یک مطلب علمی اطلاع نداشت می گفت: «نمی دانم». لاگرانژ در سال 1813 در پاریس درگذشت، او در زمان مرگ هفتاد و هفت سال داشت.

ابوریحان محمد بن احمد بیرونی

ابوریحان محمد بن احمد بیرونی از دانشمندان بزرگ ایران در علوم حکمت و اختر شناسی و ریاضیات و تاریخ و جغرافیا مقام شامخ داشته، در سال 362 هجری قمری در حوالی خوارزم متولد شده و از این جهت به بیرونی یعنی خارج از خوارزم معروف شده. هیچ اطلاعی درباره اصل و نسب و دوره کودکی بیرونی در دست نیست. نزد ابونصر منصور علم آموخت. در هفده سالگی از حلقه ای که نیم درجه به نیم درجه مدرج شده بود، استفاده کرد تا ارتفاع خورشیدی نصف النهار را در کاث رصد کند و بدین ترتیب عرض جغرافیایی زمینی آن را استنتاج نماید. چهار سال بعد برای اجرای یک رشته از این تشخیصها نقشه هایی کشید و حلقه ای به قطر پانزده ذراع تهیه کرد. در 9 خرداد 376 بیرونی ماه گرفتگی (خسوفی) را درکاث رصد کرد و قبلاً با ابوالوفا ترتیبی داده شده بودکه او نیز در همان زمان همین رویداد را در بغداد رصد کند. اختلاف زمانی که از این طریق حاصل شد به آنان امکان داد که اختلاف طول جغرافیایی میان دو ایستگاه را حساب کنند. وی همچنین با ابن سینا فیلسوف برجسته و پزشک بخارایی به مکاتبات تندی درباره ماهیت و انتقال گرما و نور پرداخت. در درباره مأمون خوارزمشاهی قرب و منزلت عظیم داشته چند سال هم در دربار شمس المعالی قابوس بن وشمگیر به سر برده، در حدود سال 404 هجری قمری به خوارزم مراجعت کرده، موقعی که سلطان محمود غزنوی خوارزم را گرفت در صدد قتل او برآمد و به شفاعت درباریان از کشتن وی درگذشت و او را در سل 408 هجری با خود به غزنه برد. در سفر محمود به هندوستان، ابوریحان همراه او بود و در آنجا با حکما و علماء هند معاشرت کرد و زبان سانسکریت را آموخت و مواد لازمه برای تألیف کتاب خود موسوم به ماللهند را جمع آوری کرد.
بیرونی به نقاط مختلف هندوستان سفر کرد و در آنها اقامت گزید و عرض جغرافیایی حدود یازده شهر هند را تعیین نمود. خود بیرونی می نویسد که در زمانی که در قلعه نندنه (nandana) به سر می برد، از کوهی در مجاورت آن به منظور تخمین زدن قطر زمین استفاده کرد. نیز روشن است که او زمان زیادی را در غزنه گذرانده است. تعداد زیاد رصدهای ثبت شده ای که به توسط او در آنجا صورت گرفته است با رشته ای از گذرهای خورشید به نصف النهار شامل انقلاب تابستانی سال 398 آغاز می شود و ماه گرفتگی روز 30 شهریور همان سال را نیز در بر دارد. او به رصد اعتدالین و انقلابین در غزنه ادامه داد که آخرین آنها انقلاب زمستانی سال 400 بود. بیرونی تألیفات بسیار در نجوم و هیئت و منطق و حکمت دارد از جمله تألیفات او قانون مسعودی است. در نجوم و جغرافیا که به نام سلطان مسعود غزنوی نوشته، دیگر کتاب آثار الباقیه عن القرون الخالیه در تاریخ و آداب و عادات ملل و پاره ای مسائل ریاضی و نجومی که در حدود سال 390 هجری بنام شمس المعالی قابوس بن وشمگیر تألیف کرده این کتاب را مستشرق معروف آلمانی زاخائو در سال 1878 میلادی در لیپزیک ترجمه و چاپ کرده و مقدمه ای بر آن نوشته است. دیگر کتاب «ماللهند من مقوله فی العقل او مرذوله» درباره علوم و عقاید و آداب هندیها که آن را هم پروفسور زاخائو ترجمه کرده و در لندن چاپ شده است. دیگر «التفهیم فی اوائل صناعه التنجیم» در علم هیئت و نجوم و هندسه. بیرونی هنگامی که شصت و سه ساله بود کتابنامه ای از آثار محمد بن زکریای رازی پزشک تهیه نمود و فهرستی از آثار خود را ضمیمه آن کرد. این فهرست به 13 عنوان سر می زند که بعضی از آنها برحسب موضوع و گه گاه با اشاره کوتاهی به فهرست مندرجات آنها تنظیم شده اند. این فهرست ناقص است زیرا بیرونی دست کم چهارده سال پس از تنظیم آن زنده بود و تا لحظه مرگ نیز کار می کرد. به علاوه هفت اثر دیگر او موجود است و از تعداد فراوان دیگری هم نام برده شده است. تقریباً چهار پنجم آثار او از بین رفته اند بی آن که امیدی به بازیافت آنها باشد. از آنچه برجای مانده در حدود نیمی به چاپ رسیده است. علایق بیرونی بسیار گسترده و ژرف بود و او تقریباً در همه شعبه های علومی که در زمان وی شناخته شده بودند سخت کار می کرد. وی از فلسفه و رشته های نظری نیز بی اطلاع نبود اما گرایش او به شدت بسوی مطالعه پدیده های قابل مشاهده در طبیعت و در انسان معطوف بود. در داخل خود علوم نیز بیشتر جذب آن رشته هایی می شد که در آن زمان به تحلیل ریاضی در آمدند. در کانی شناسی، داروشناسی و زبان شناسی یعنی رشته هایی که در آنها اعداد نقش چندانی نداشتند نیز کارهایی جدی انجام داد اما در حدود نیمی از کل محصول کار او در اخترشناسی، اختربینی و رشته های مربوط به آنها بود که علوم دقیقه به تمام معنی آن روزگاران به شمار می رفتند. ریاضیات به سهم خود در مرتبه بعدی جایمی گرفت اما آن هم همواره ریاضیات کاربسته بود. از آثار دیگر بیرونی که هنوز هم در دسترس هستند می توان اینها را نام برد: اسطرلاب، سدس، تحدید، چگالیها، سایه ها، وترها، پاتنجلی، قره الزیجات، قانون، ممرها، الجماهر و صیدنه. بیرونی درباره حرکت وضعی زمین و قوه جاذبه آن دلایل علمی آورده است. می گویند وقتی کتاب قانون مسعودی را تصنیف کرد سلطان پیلواری سیم برای او جایزه فرستاد. ابوریحان آن مال را پس فرستاد و گفت: من از آن بی نیازم زیرا عمری به قناعت گذرانیده ام و ترک آن سزاوار نیست. نظر پردازی، نقش کوچکی در تفکر او ایفا می کرد. وی بر بهترین نظریه های علمی زمان خود تسلط کامل داشت اما دارای ابتکار و اصالت زیادی نبود و نظریه های تازه ای از خود نساخت. ابوریحان بیرونی در سال 440 هجری در سن 78 سالگی در غزنه بدرود حیات گفت.